Bhoolay a écrit :
ax²+bx+c = 0 , si a différent de 0
On met sous forme canonique, en développant ça donne :
a [ x² + bx/a + c/a ] = 0
a [ (x + b/2a)² - b²/4a² + c/a ] = 0
a [ (x + b/2a)² - (b²-4ac)/4a² ] = 0
bon alors tout d'abord, ceux qui sont au lycée ben la démonstration elle ne vous servira à rien (il se peut par contre qu'elle vous soit utile dans l'après-bac par contre...)
donc pour ceux du niveau lycée vous retenez simplement delta = b²-4ac et les trois cas qu'à expliqué Bhoolay...
Alors maintenant spécial pour les terminales S, un petit aperçu rapide du corps des complexes. Voici ce que l'on vous a appris pour les équations du second degré:
Bhoolay a écrit :
- Si delta < 0, le trinôme n'a pas de racines, S = ens. vide
car (x + b/2a)² - nb négatif/4a² = un carré plus un nb positif = nb positif, différent de 0
ceci est vrai si l'on cherche des racines appartenant au corps des rééls (pour les incultes ben c'est tout simplement les nombres que vous utilisez tous les jours auxquels on rajoute ceux du genre pi, e, racine carré etc...)
par contre il existe un corps encore plus grand (imaginez des patates: si N est la patate des nombres entiers, Z est la patate des nombres relatifs qui est une patate qui englobe N et qui est plus grande... etc jusque R pas envie de tout réécrire XD et bien il existe le corps des complexes appelé C qui est encore plus grand que R (la série des corps ne s'arrête pas là mais je ne vais pas plus loin...))
C a comme caractéristique principale de contenir l'élément i qui définit de telle manière que i²=(-1) (oui oui je sais ça perturbe au début mais c'est comme ça point barre ya pas à chercher plus loin vous appliquez ya rien à comprendre XD)
quelques exemples de nombres complexes:
i
1+i
-2-4i
etc...
eh bien là miraaaaaaacle on peut résoudre les cas où delta est négatif!
méthode générale de résolution:
si delta = *réél négatif*
vous êtes d'accord avec moi, cela a été prouvé, qu'il n'existe aucune solution réelle.
il suffit alors pour pouvoir trouver les racines de chercher un nombre complexe tel que (delta)²= *réél négatif*
les racines sont alors de la forme:
x' = (-b-delta)/(2a)
x" = (-b+delta)/(2a)
exmple pratique:
admettons un trinôme ax²+bx+c qui admet un delta= (-1)
(pas le temps de chercher l'exemple concret avec les chiffres jdois aller en cours...de maths justement XD)
si vous avez suivi mes explications précédentes vous verrez que le complexe qui est solution de (delta)²= (-1) est i. ( i²=(-1) )
les deux racines sont alors:
x' = (-b-i)/(2a)
x" = (-b+i)/(2a)
voili voilu et ne soyez pas effrayés ça parait pas facile au premier abord mais avec l'entrainement vous le faites instinctivement
Je pense qu'il serait considérablement plus facile de connaître beaucoup de valeurs de exp(x) par coeur, et de déduire les valeurs d'un exp(x) qu'on ne connaît pas en l'encadrant avec les exp(x) qu'on connaît les plus proches.
Il tombe bien ^^ j'aimerais votre avis sur une dissert de philo, à rendre pour jeudi:
